La première partie du cours présente les principaux résultats de la théorie de la mesure et de l'intégration de fonctions dans le cadre d'espaces mesurés. La seconde partie traite la théorie de la transformée de Fourier de fonctions intégrables selon Lebesgue dans le cadre d'une fonction absolument intégrable et d'une fonction de carré intégrable, ainsi que la transformée de Laplace.
L'objectif est d'initier les étudiants à la théorie de l'intégrale de Lebesgue, et de montrer les principaux apports de cette théorie par rapport à l'intégrale de Riemann.
Le cours de théorie de la mesure et de l'intégration comprend une première partie théorique de huit chapitres traitant de l’intégrale d’une fonction mesurable. La seconde partie de trois chapitres traite d'un thème extrêmement important de mathématiques appliquées : la transformée de Fourier.
La table des matières comprend dix chapitres: I. Introduction. II. Mesure et espace mesuré. III. Fonctions mesurables. IV. Intégrale d'une fontion mesurable non-négative. V. Fonctions intégrables. VI. Espaces Lp. VII. Mesure de Lebesgue sur R. VIII. Espace produit. IX. Transformée de Fourier dans L1. X. Transformée de Fourier dans L2. Transformée de Laplace.
Illustration et applications des concepts et résultats principaux du cours.
Cours magistral et séances de travaux dirigés.
L'évaluation de cette unité d'enseignement comporte deux parties. D'une part, un examen oral individuel qui a pour objectif d'évaluer les connaissances de l'étudiant et son niveau de compréhension du cours (définitions, énoncés et démonstrations de théorèmes, questions de synthèse...). D'autre part un examen écrit d'exercices qui a pour but de tester les capacités de l'étudiant à appliquer les résultats vus au cours.
L’examen porte donc sur deux activités d'apprentissage, l’une (examen oral) portant sur la théorie et l’autre (examen écrit) sur les exercices. Pour autant que chaque note soit supérieure à 7, la partie orale et la partie écrite comptent chacune pour la moitié de la note finale. Si une des notes est inférieure ou égale à 7, la note globale est égale à la note la plus basse.
"Measure, Integration and Real Analysis", Axler Sheldon, Springer, 2020.
"Essentials of integration theory for analysis", Daniel W. Stroock, Springer, 2020.
"Measure Theory - A first Course", Carlos S. Kubrusly, Elsevier, 2007
"Measure Theory", Paul R. Halmos, Springer, 1974
"Measure Theory", J.L. Doob, Springer, 1993
| Formation | Programme d’études | Bloc | Crédits | Obligatoire |
|---|---|---|---|---|
| Bachelier en sciences mathématiques | Standard | 0 | 6 | |
| Bachelier en sciences mathématiques | Standard | 3 | 6 |