Acquis d'apprentissage

Au terme de ce cours, l’étudiant sera familiarisé avec des techniques originales pour l’étude des systèmes dynamiques et sera capable de les appliquer efficacement à l’étude de problèmes variés et concrets (par exemple : neurosciences, réseaux électriques, finance, etc.).

Objectifs

L’étude des systèmes (dynamiques) non linéaires est essentielle dans de nombreux domaines scientifiques. Cependant, les techniques permettant une approche globale et systématique de ces systèmes sont rares. Le but de ce cours est d’étudier des telles techniques, faisant intervenir des outils mathématiques avancés tels que la théorie des opérateurs. L’accent sera également mis sur le développement et l’utilisation de méthodes numériques.
 

Contenu

La thématique principale du cours est construite autour de la théorie des opérateurs, qui permet de transformer un système dynamique non linéaire en un système linéaire (mais de dimension infinie). Le contenu exact du cours pourra cependant varier d’une année à l’autre suivant l’intérêt et les attentes des étudiants inscrits, ainsi qu’en fonction des développements récents dans le domaine.

Table des matières

Théorie des systèmes dynamiques : rappels (attracteurs, stabilité, chaos), théorie de l’ergodicité.

Théorie des opérateurs : opérateurs de Koopman et Perron-Frobenius, décomposition spectrale, relation entre invariants géométriques et propriétés spectrales.

Méthodes numériques : calcul du spectre et des fonctions propres (moyennes de Fourier, algorithme DMD, méthode d’Arnoldi), projection d’un opérateur sur une base.

Méthodes d'enseignement

La partie téhorique du cours sera donnée au tableau, en anglais. Une autre partie sera consacrée à la préparation et la discussion du projet (voir ci-dessous). La participation active des étudiants est encouragée. Quelques heures de séances d'exercices seront également organisées.

Méthode d'évaluation

Chaque étudiant réalisera un projet individuel au cours duquel il appliquera les méthodes vues au cours afin d’étudier un système dynamique portant sur une thématique de son choix. Ce travail sera évalué sur base d’un rapport écrit (en anglais) et d’une présentation orale (en français), par le titulaire du cours et/ou son suppléant. L'implication d'un étudiant dans la relecture du travail d'un pair pourra être prise en compte dans la note finale.

Langue d'instruction