Acquis d'apprentissage

Caractérisés par un état qui évolue dans le temps, les systèmes dynamiques jouent un rôle essentiel dans de nombreux domaines d'application des mathématiques, comme les sciences exactes (physique, chimie, biologie), l'informatique ou encore l'économie et la gestion.

Au terme du cours, l’étudiant sera capable de modéliser des phénomènes dynamiques simples, de les simuler sur ordinateur (Matlab), et d’étudier sommairement leur comportement à l’aide des principaux outils mathématiques disponibles.

Objectifs

L’objectif de ce cours est d’initier l'étudiant à la démarche de modélisation et d’analyse des systèmes dynamiques.

Contenu

Le cours est fortement pluridisciplinaire et s’adresse à l’étudiant désireux de pouvoir appliquer des outils mathématiques à son domaine de prédilection, ou d’acquérir des connaissances générales en modélisation et théorie des systèmes dynamiques. En outre, les concepts théoriques seront illustrés par de nombreux exemples concrets (mécanismes biologiques, électricité, neurosciences, etc.).

Une partie du cours introduira les différents types de systèmes dynamiques (temps continu/discret, système déterministe/stochastique, etc.) et les notions de base (espace d’état, trajectoire, attracteur). Les techniques de modélisation des systèmes (formalisme de Lagrange, linéarisation) y seront également présentées.

Une seconde partie du cours abordera, et ce de manière introductive, les principales notions mathématiques et méthodes d’analyse des systèmes dynamiques : portrait de phase, diagramme cobweb, calcul de points d'équilibres, étude de stabilité, points périodiques et cycles limites.

Table des matières

  • Les différents types de systèmes ; la notion d'espace d’état ; premier exemple: les automates finis
  • Modélisation d’un système 1D en temps discret ; diagramme « cobweb » ; point fixe stable, instable et orbite périodique
  • Modélisation en temps continu : formalismes Newton – Lagrange ; exemples : systèmes à compartiments, systèmes réactionnels,... ; la technique de linéarisation
  • Systèmes plans : trajectoires et portraits de phase; caractérisation du comportement des systèmes linéaires
  • Systèmes nonlinéaires : existence-unicité des solutions ; stabilité locale du point fixe (théorème de Hartman-Grobman) ; cycle limite; introduction à la théorie des bifurcations
  • Systèmes stochastiques : « master » équation ; processsus stochastique ; équation de Langevin ; équation de Fokker-Planck

Méthodes d'enseignement

Cours magistral et travaux dirigés (exercices et simulation numérique sur ordinateur (matlab)).

Méthode d'évaluation

L'évaluation sera organisée sous la forme d'un examen avec l'aide d'un ordinateur. Il comportera deux parties : (1) modélisation de systèmes dynamiques et petites questions d'analyse par écrit; (2) analyse et simulation numérique sur l'ordinateur, présentées oralement.

Si une évaluation n'est pas possible en présentiel, seule la partie (1) sera organisée, lors d'un examen écrit effectué via WebCampus.
 

Sources, références et supports éventuels

  • S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Westview Press
  • Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcation of Vector Fields, J. Guckenheimer and P. Holmes, Springer-Verlag, 1983.
  • J.D. Murray, Mathematical Biology, I : An introduction, Springer, 2008.

Langue d'instruction

Français
Formation Programme d’études Bloc Crédits Obligatoire
Bachelier en sciences mathématiques Standard 0 5