L'objectif principal de ce cours est de fournir aux étudiants en sciences physiques des outils mathématiques plus avancés qui participent aux fondements de théories physiques telles que la mécanique quantique, la relativité générale et la théorie des champs (préparatoire à la physique des particules élémentaires). L'accent est mis sur les concepts, leurs articulations et leurs applications. Le cours ambitionne également de développer les capacités d'auto-apprentissage de nouveaux concepts et méthodes de calcul.
Le cours présentera des concepts et outils mathématiques venant de l'analyse fonctionnelle, de la géométrie différentielle riemannienne et lorentzienne.
Contenu du cours en 2020-2021 :
Partie 1: analyse fonctionnelle pour la mécanique quantique
Aspects algébriques et topologiques: espaces de Banach, Espaces de Hilbert, Dual d'un espace de Hilbert et théorème de représentation de Riesz
Aspects analytiques :Intégrale de Lebesgue, Espaces L^p et Théorie des distributions
Opérateurs hermitien, unitaires, décomposition spectrale et implications en mécanique quantique
Application: théorème de Wigner sur la représentation des états quantiques dans les espaces d'Hilbert
Partie 2: géométrie différentielle riemanienne et groupes de Lie
Variétés différentiables, Vecteurs tangents, cotangents et tenseurs, connexion et dérivée covariante, courbure et torsion, métrique (pseudo-)rIemannienne, connexion de Levi-Civita et applications aux espaces-temps
Introduction aux groupes de Lie et à la théorie des représentations: groupes de Lorentz et de Poincaré en relativité restreinte ; classification des particules élémentaires en théorie classique du champ, lien avec le théorème de Wigner dans les espaces de Hilbert
Cours théorique de 30h présentant les nouveaux concepts mathématiques complété par 15h de séances d'exercices permettant de se familiariser avec ces nouveaux concepts.
L'examen comporte deux parties : un examen écrit portant sur les aspects calculatoires développés aux travaux dirigés et un examen oral portant sur la théorie. Ces deux parties sont considérées comme des activités d'apprentissage distinctes d'une même unité d'enseignement.
L'examen oral vise à évaluer la maîtrise de la théorie, en particulier la vision synthétique de la matière, l'explication et la mise en contexte des concepts et les liens avec la physique qui ont été développés tout au long du cours.
La réussite finale est conditionnée à la réussite séparée des deux parties orales et écrites. En cas de réussite des deux parties indépendamment, la clef de répartition suivante est appliquée: 12 points sur 20 pour l'oral et 8 points sur 20 pour l'écrit. En cas d'échec de l'une des deux parties, soit les crédits ne sont pas accordés (note globale < 10/20) mais une dispense partielle (écrit ou oral) peut être accordée par l'enseignant ; soit, si l'échec est modéré (>=8/20), les crédits peuvent être accordés exceptionnellement en fonction du niveau atteint par l'étudiant et de son investissement personnel. En cas d'échec des deux parties, les crédits ne sont pas accordés et la note finale est strictement inférieure à 10/20. Enfin, seules les épreuves (orales ou écrites) en échec en janvier doivent être représentées en septembre. La dispense d'une partie du cours d'une année académique à l'autre n'est pas envisageable.
L. Debnath, P. Mikusinski, "Introduction to Hilbert Spaces", Elsevier Academic Press, 2005. E. Prugovecki, "Quantum Mechanics in Hilbert Space", Dover, 2006. Nakahara : "Differential Geometry for Physicists"
| Formation | Programme d’études | Bloc | Crédits | Obligatoire |
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| Standard | 0 | 4 | ||
| Standard | 3 | 4 |