Acquis d'apprentissage

Ce cours permet d'introduire des notions de mathématiques avancées (analyse fonctionnelle et calcul tensoriel) en les motivant par les principes et théories fondamentales des physiques classique et relativiste.

Il est permet d'aborder d'autres cours, comme mécanique quantique, théorie quantique des champs et physique des particules élémentaires, relativités restreinte et générale, en donnant une intuition physique et mathématique de quelques principes fondateurs et résultats de base. L'accent du cours est mis sur les concepts, leurs articulations et leurs applications. Le cours ambitionne également de développer les capacités d'auto-apprentissage de nouveaux concepts et de théories avancées de mathématique et de physique. 

Contenu

Le cours se sépare en deux parties:

- approche mathématique des principes de mécanique quantique galiléenne (i.e. non-relativiste) ;

- introduction à la théorie classique des champs

On y trouvera la formalisation mathématique de résultats importants de la physique comme le formalisme de Dirac, l'invariance de Lorentz, les représentations de Schrödinger et de Heisenberg, les équations de Klein-Gordon et Dirac, le spin, la masse, l'antimatière, les théories de jauge, les symétries et les grandeurs conservées. 

 

Table des matières

Contenu du cours en 2023-2024:

Partie 1: mécanique quantique galiléenne et analyse fonctionnelle

- Postulat du vecteur d'état:

Espaces vectoriels topologiques, espaces de Banach, espaces de Hilbert complexes séparables, espace de Lebesgue L^2

- Mécanique ondulatoire et mécanique des matrices

Suites orthonormales complètes, isomorphisme entre espaces d'Hilbert séparables et espace des suites complexes de carrés sommables, équivalence des représentations de Schrödinger et de Heisenberg de la mécanique quantique galiléenne

- Formalisme BRA-KET de Dirac

Dual topologique d'un espace de Hilbert, théorème de représentation de Riesz, distributions, espaces d'Hilbert équipés (triplets de Gel'Fand)

Partie 2: Introduction à la théorie classique des champs

- Espace-temps de Minkowski, champs, symétries :

Invariance relativiste ; intervalle et temps propre  ; isométries ; symétries externes continues et discrètes (parité et renversement du temps) ; groupes de Lie ; groupe de Poincaré (translations, rotations, boosts ou transformations de Lorentz pures) ; représentations des groupes (dont adjointe et représentations irréductibles); masse et spin : particules élémentaires ; champs et symétries internes

- Principe variationnel pour les équations du champ

Densité lagrangienne et action ; des particules au champ : modèle de la chaîne de Lagrange ; théorème de Noether pour les champs : symétries externes continues et grandeurs conservées

- Equation de Klein-Gordon : théorie du champ scalaire complexe (spin 0)

- Equation de Dirac: théorie du champ spinoriel libre (spin 1/2) ; conjugaison de charge et antimatière ;

- Approche lagrangienne pour les équations de Maxwell covariantes (spin 1 ; quadripotentiel vecteur et effet Aharonov-Bohm)

- Invariance de jauge et brisure spontanée de symétrie U(1) (ouverture: effet Meisner, supraconductivité, boson de Brout-Englert-Higgs).

Méthodes d'enseignement

Cours théorique de 30h présentant les nouveaux concepts mathématiques complété par 15h de séances d'exercices permettant de se familiariser avec ces nouveaux concepts.

Méthode d'évaluation

L'examen comporte deux parties : un examen écrit ou un travail portant sur les aspects calculatoires développés aux travaux dirigés et un examen oral portant sur la théorie. Ces deux parties sont considérées comme des activités d'apprentissage distinctes d'une même unité d'enseignement.

L'examen oral vise à évaluer la maîtrise de la théorie, en particulier la vision synthétique de la matière, l'explication et la mise en contexte des concepts et les liens avec la physique qui ont été développés tout au long du cours.

La réussite finale est conditionnée à la réussite séparée des deux parties orales et écrites. En cas de réussite des deux parties indépendamment, la clef de répartition suivante est appliquée: 12 points sur 20 pour l'oral et 8 points sur 20 pour l'écrit. En cas d'échec de l'une des deux parties, soit les crédits ne sont pas accordés (note globale < 10/20) mais une dispense partielle (écrit ou oral) peut être accordée par l'enseignant ; soit, si l'échec est modéré (>=8/20), les crédits peuvent être accordés exceptionnellement en fonction du niveau atteint par l'étudiant et de son investissement personnel. En cas d'échec des deux parties, les crédits ne sont pas accordés et la note finale est strictement inférieure à 10/20. Enfin, seules les épreuves (orales ou écrites) en échec en janvier doivent être représentées en septembre. La dispense d'une partie du cours d'une année académique à l'autre n'est pas envisageable.

Sources, références et supports éventuels

L. Debnath, P. Mikusinski, "Introduction to Hilbert Spaces", Elsevier Academic Press, 2005. E. Prugovecki, "Quantum Mechanics in Hilbert Space", Dover, 2006. Nakahara : "Differential Geometry for Physicists"

J. Schwichtenberg, "Physics from symmetry", Springer, 2015.

L. Susskind, A. Friedman, "Special relativity and classical field theory : the theoretical minimum".

 

 

Langue d'instruction

Formation Programme d’études Bloc Crédits Obligatoire
Bachelier en sciences physiques Standard 0 4
Bachelier en sciences physiques Standard 3 4