Acquis d'apprentissage

Le cours dotera les étudiant.e.s d'un bagage théorique et pratique pour le traitement d'équations aux dérivées partielles: position du problème, conditions de bord, classification, solutions analytiques, méthodes numériques.

Objectifs

Les étudiant.e.s devront être capables à l'issue du cours :

- d'analyser un problème formulé en termes d'EDP - équations aux dérivées partielles - (propriétés analytiques et classification),

- de trouver des solutions analytiques générales ou particulières éventuellement dans des cas simplifiés

- de développer et valider un code numérique d'approximation des solutions d'EDPs.

Contenu

Le cours théorique se décompose en deux parties principales. La première traite plutôt des aspects théoriques (position d'un problème d'EDP, classification, méthodes analytiques) ; la seconde présente deux grandes familles de méthodes de base pour leur "résolution" (approximation) numérique, avec des exemples résolus. Les travaux pratiques porteront sur les aspects analytiques (résolution "à la main") et sur les aspects numériques ("résolution par ordinateur").

 

Table des matières

Partie 1: Aspects théoriques des équations aux dérivées partielles (EDPs) - C. Dubussy

  1. Notions d’EDP et de problème bien posé (conditions de Dirichlet et de Neumann). 
  2. Exemples de résolutions faciles d’EDPs d’ordre 1. 
  3. Caractérisation des EDPs d’ordre 2. 
  4. L’équation d’onde homogène. (Formule de d’Alembert). 
  5. L'équation d'onde inhomogène. (Principe de Duhamel).
  6. L'équation d'onde sur une demi-droite et sur un segment. Méthode de l'énergie.
  7. Notion de fonction harmonique.
  8. L'équation de Laplace. Etude en dimension 2 sur le disque et sur le demi-plan.

Partie 2: introduction aux méthodes numériques de résolution des EDPs (A. Füzfa)

  1. Méthode des différences finies : construction des formules d'approximation ; erreurs de troncature et d'arrondis par l'exemple
  2. Conditions de bord (Dirichlet, Neumann, Sommerfeld-radiative) et implémentation
  3. Application des différences finies : méthode des lignes, schémas de différences finies, illustrations sur des EDPs du premier et du second ordre, convergence et validation des codes (solutions analytiques, grandeurs conservées, etc.), conditions de stabilité de Courant-Friedrich
  4. Méthodes spectrales ; principes ; approximations de fonctions par décomposition orthogonale dans un espace d'Hilbert ; fonctions propres du laplacien dans différentes géométries et coordonnées ; application à l’équation d’onde ou de la chaleur

 

Méthodes d'enseignement

Cours ex cathedra pour la théorie. Travaux pratiques en salle et au pool. Travail personnel d'implémentation de méthodes numériques.

Méthode d'évaluation

L'évaluation porte sur 3 activités d'apprentissage: (1) les notions théoriques ; (2) les méthodes analytiques et (3) les méthodes numériques.

Les méthodes analytiques feront l'objet d'un examen d'exercices en session.

Les méthodes numériques feront l'objet d'un travail sur un sujet détaillé donné en fin de cours et à présenter individuellement dans la seconde partie de l'examen oral. Ce travail consistera en de l'implémentation et de la validation de méthodes de mathématiques appliquées vues au cours pour la résolution d'EDPs.

Les aspects théoriques formeront la première partie de l'examen oral en session, la seconde partie étant dédiée à la défense individuelle du travail sur les méthodes numériques.

L'examen oral en deux parties se fera face aux deux titulaires du cours.

La répartition de la note finale entre ces trois activités d'apprentissage est équilibrée (1/3 théorie ; 1/3 exercices sur les méthodes analytiques et 1/3 sur le travail d'implémentation de méthodes numériques) à condition que toutes les parties soient réussies. En cas d'échec à l'une ou plusieurs des parties, celles-ci devront être repassées lors de la session suivante. 

Langue d'instruction

Formation Programme d’études Bloc Crédits Obligatoire
Bachelier en sciences mathématiques Standard 0 5
Bachelier en sciences mathématiques Standard 3 5