Mécanique quantique I

1 Les quantons
1.1 La lumière et les photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Radiation d’un corps noir et constante de Planck . . .
1.1.2 Effet Photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Effet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Création et annihilation de paires de particules - anti-
particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Le photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La matière et les quantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Modèle de Bohr de l’atome d’Hydrogène . . . . . . . .
1.2.2 Les ondes de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Confirmation expérimentale : la diffraction électronique

2 L’équation de Schrödinger et ses premières conséquences
2.1 La fonction d’onde et l’équation de Schrödinger . . . . . . . .
2.1.1 Equation de Scrödinger et conservation de particules .
2.2 Paquets d’ondes et particules . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Paquets d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Inégalités d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Conséquence sur la taille et l’énergie d’ionisation de
l’atome d’hydgrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Evolution d’un paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . .
2.3 Etats stationnaires et superpositions d’états . . . . . . . . . .
2.3.1 Courant de probabilité de présence pour une onde si-
nusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Barrières et puits de potentiel à 1D . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Potentiel constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Potentiel constant par partie et conditions de raccord . . . . .
2.5.1 Symétrie du potentiel et parité de la fonction d’onde .
2.5.2 Etats liés et non liés, Spectres d’énergie discrets et
continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Exemples de systèmes à 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Puit infini : particule dans une boîte . . . . . . . . . .
2.6.2 Barrière de potentiel : Effet tunnel et diffusion résonante
2.6.3 Marche de potentiel : Réflexion et réfraction de particules
2.6.4 Puit Fini : états liés et états de diffusion . . . . . . . .
2.6.5 Double puits de potentiel : Interaction d’échange . . .

3 Outils Mathématiques
3.1 Espaces des états, produits scalaires et notations de Dirac .
3.1.1 Notations de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Produit scalaire et Espace des Etats . . . . . . . . . .
3.1.3 Bases dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Opérateurs et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Exemples d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Remarques sur les notations de Dirac . . . . . . . . . .
3.2.4 Opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Produits d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Opérateurs hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.8 Opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.9 Représentation matricielle des kets, bras et opérateurs
3.2.10 Fonction d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.11 Commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.12 Valeurs propres et vecteur propres d’un opérateur . . .
3.3 Ensemble Complet d’Observables qui commutent . . . . . . .
3.4 Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Représentation{|r } . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Représentation {|p } . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Lien entre les représentations {|r } et {|p } . . . . . .
3.5 Mécanique ondulatoire et matricielle . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Produit tensoriel d’espaces d’états . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Bases et espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Equation au valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 E.C.O.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Les postulats de la mécanique quantique et leurs conséquences
4.1 Etats d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Phase des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Grandeurs physiques et observables . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Résultats de la mesure d’une grandeur physique . . . . . . . .
4.4 Probabilités de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.1 Spectre discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Spectre continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Projection lors de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 L’interprétation de Copenhague . . . . . . . . . . .
4.5.2 Le chat de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Quelques avis historiques et autres interprétations
Evolution dans le temps d’un système . . . . . . . . . . .
4.6.1 Opérateur d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Conservation de la norme
.
5 Description statistique de la mécanique quantique
5.1 Indicateurs statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Déviation standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Inégalités d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Evolution de la valeur moyenne d’une observable . . . . . . .
5.3.1 Relation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Hamiltonien et déviation standard de l’énergie . . . .
5.4 Opérateur et matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Mélange statistique d’états . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Opérateur densité pour un état pur . . . . . . . . . . .
5.4.3 Opérateur densité pour un mélange statistique d’états
5.4.4 Populations et cohérences . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Autres concepts purements quantiques
6.1 Le point de vue de Schrödinger, de Heisenberg et d’interaction
6.1.1 Le point de vue de Schrödinger . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Le point de vue de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Le point de vue d’interaction . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Limite classique et théorème d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Energie interne et niveau d’énergie . . . . . . . . . . .
6.2.2 Décohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Théorème d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Le Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Determinisme, localité, intrication, variables cachées . . . . .
6.4.1 Déterminisme, localité et intrication . . . . . . . . . .
6.4.2 Variables cachées et inégalité de Bell . . . . . . . . . .
6.4.3 Les expériences de Aspect . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Information, communication et Ordinateur Quantique . . . .
6.5.1 Bits et Qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Cryptographie Quantique . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Téléportation Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 Ordinateur Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . .