Caractérisés par un état qui évolue dans le temps, les systèmes dynamiques jouent un rôle essentiel dans de nombreux domaines d'application des mathématiques, comme les sciences exactes (physique, chimie, biologie), l'informatique ou encore l'économie et la gestion.
Au terme du cours, l’étudiant sera capable de modéliser des phénomènes dynamiques simples, de les simuler sur ordinateur (Matlab), et d’étudier sommairement leur comportement à l’aide des principaux outils mathématiques disponibles.
L’objectif de ce cours est d’initier l'étudiant à la démarche de modélisation et d’analyse des systèmes dynamiques, et de fournir une introduction aux processus stochastiques.
Le cours est fortement pluridisciplinaire et s’adresse à l’étudiant désireux de pouvoir appliquer des outils mathématiques à son domaine de prédilection, ou d’acquérir des connaissances générales en modélisation, théorie des systèmes dynamiques et systèmes stochastiques. En outre, les concepts théoriques seront illustrés par de nombreux exemples concrets (mécanismes biologiques, électricité, neurosciences, etc.).
Une partie du cours introduira les différents types de systèmes dynamiques (temps continu/discret, système déterministe/stochastique, etc.) et les notions de base (espace d’état, trajectoire, attracteur). Les techniques de modélisation des systèmes (lois physiques, linéarisation) y seront également présentées.
Une seconde partie du cours abordera, et ce de manière introductive, les principales notions mathématiques et méthodes d’analyse des systèmes dynamiques : portrait de phase, diagramme cobweb, calcul de points d'équilibres, étude de stabilité locale et globale.
La dernière partie du cours sera consacrée à l'étude des systèmes stochastiques. Dans le cas des processus discrets (à sauts), le processus de Poisson sera étudié en détail, puis généralisé au travers de la master équation. Une introduction aux processus de Markov et à la théorie des files d'attentes sera donnée. Enfin, les processus en temps continu seront étudiés au travers du calcul stochastique de base et de l'équation de Fokker-Planck.
Cours magistral et travaux dirigés (exercices et simulation numérique sur ordinateur (matlab)).
L'évaluation sera organisée sous la forme d'un examen avec l'aide d'un ordinateur. Il comportera deux parties : (1) modélisation de systèmes dynamiques et questions d'analyse par écrit; (2) analyse et simulation numérique sur l'ordinateur, présentées oralement.
| Formation | Programme d’études | Bloc | Crédits | Obligatoire |
|---|---|---|---|---|
| Bachelier en sciences mathématiques | Standard | 0 | 5 |