Philosophie des mathématiques

Le premier théorème d'incomplétude, démontré par K. Gödel en 1931, met en lumière un hiatus entre les concepts de vérité et de démonstration. Deux interprétations philosophiques divergentes de ce hiatus peuvent être proposées suivant que la prévalence est accordée à l'approche sémantique ou à l'approche déductive. Dans le premier cas, on tendra à affirmer que le concept de démonstration échoue à saisir le concept de vérité mathématique dans sa totalité. Il existe des énoncés qui sont vrais suivant l'interprétation usuelle des nombres naturels et qui pourtant ne peuvent être démontrés. Dans le second cas, on sera enclin à considérer que le concept de démonstration révèle l'ambiguïté intrinsèque du concept de vérité mathématique. Il existe des énoncés qui, bien qu'ils soient vrais suivant l'interprétation usuelle des nombres naturels, ne peuvent être considérés comme absolument vrais en raison de l'existence d'interprétations divergentes. Ce cours consiste en une analyse du premier théorème d'incomplétude et de ses conséquences philosophiques quant aux rapports entre vérité et démonstration en mathématiques.