Acquis d'apprentissage

Maitrise des nombres complexes et des fonctions de variables complexes. Etude des séries de Fourier, Taylor et Laurent. Application au calcul des intégrales.

Objectifs

Comme celui de 1ère année de bachelier, ce cours a pour but l'enseignement des bases théoriques et pratiques d'Analyse que doit posséder un futur physicien ou un futur mathématicien. Il a pour objet l'étude des questions plus spécifiquement traitées en variable complexe, y compris la théorie des séries de Fourier. Ce cours constitue un prolongement logique du cours d'Analyse donné en premier bachelier et il poursuit les mêmes objectifs que celui-ci.

Contenu

Les matières suivantes seront abordées dans le cours :

  1. Chapitre 0 : Nombres complexes
  2. Chapitre 1 : Séries entières. Fonctions analytiques d'une variable complexe.
  3. Chapitre 2 : Théorie élémentaire des séries de Fourier.
  4. Chapitre 3 : Prélude au Théorème de Cauchy (Intégrale le long d'un chemin)
  5. Chapitre 4 : Théorème de Cauchy
  6. Chapitre 5 : Conséquences du Théorème de Cauchy
  7. Chapitre 6 : Singularités et Séries de Laurent
  8. Chapitre 7 : Théorème des Résidus de Cauchy

 

Table des matières

  • Chapitre 0 : Nombres complexes
  • Chapitre 1 : Séries entières. Fonctions analytiques d'une variable complexe.
  • Chapitre 2 : Théorie élémentaire des séries de Fourier.
  • Chapitre 3 : Prélude au Théorème de Cauchy (Intégrale le long d'un chemin)
  • Chapitre 4 : Théorème de Cauchy
  • Chapitre 5 : Conséquences du Théorème de Cauchy
  • Chapitre 6 : Singularités et Séries de Laurent
  • Chapitre 7 : Théorème des Résidus de Cauchy

Méthodes d'enseignement

Cours théorique magistral accompagné de séances d'exercices en petits groupes et d'un travail de groupe sur un nouveau sujet chaque année

Méthode d'évaluation

L'examen comporte deux parties: un examen écrit (exercices) et un examen oral (questions de cours).

1) L'épreuve écrite : 3 h d'exercices pris parmi ceux vu en cours/TD et dans le syllabus

2) l'épreuve orale : présentation au tableau d'une question de cours en 10-15 minutes, extraite en avance, sans notes.

La note de l'examen est ainsi calculée:

- si l'étudiant se présente aux deux épreuves et obtient au moins 2/20 dans chaque épreuve, alors on calcule N1 =  (2 x Note écrit + 1 x Note Oral)/3. Si cette note N1 est plus grande ou égale de 8/20 alors on rajoute les points du TG/5.

- si l'étudiant se présente aux deux épreuves et obtient moins que 2/20 dans au moins une épreuve ou bien il signe une des deux épreuves, alors la note totale sera 0 (SG)

Si la note totale est strictement inférieure à 10/20, alors l'étudiant peut reporter d'une session d'examen à la suivante (dans la même année académique) les notes écrit-oral si elles sont supérieures à 5/20.

La note du travail de groupe est automatiquement reportée d'une session d'examen à la suivante (dans la même année académique).

 

Sources, références et supports éventuels

Syllabus pour le cours théorique  pour les exercices contenant les rappels et les énoncés des exercices par chapitre.

Ouvrage de référence : H.A. PRIESTLEY, Introduction to complex analysis, Oxford Sciences Publications, 1990.

 

Langue d'instruction

Formation Programme d’études Bloc Crédits Obligatoire
Bachelier en sciences mathématiques Standard 0 5
Bachelier en sciences mathématiques Standard 2 5