Ce cours vise principalement à faire acquérir à l'étudiant les concepts et résultats principaux, ainsi que les méthodes, de la théorie des systèmes dynamiques en dimension infinie (systèmes à paramètres répartis, étude de systèmes non linéaires via l'opérateur de Koopman). Les différents aspects de l'étude de tels systèmes (modélisation, analyse, conception, simulation) sont abordés dans le cours magistral, dans des séances de travaux dirigés et des travaux personnels.
Partie 1. Etude d'équations différentielles linéaires où la variable d'état évolue dans un espace de Banach ou de Hilbert de dimension infinie. Généralisation du concept d'exponentielle matricielle exp(At) à celui de semi-groupe de la même forme engendré par un générateur linéaire A, fermé et densément défini. Problèmes de Cauchy homogène et commandé. Applications aux équations aux dérivées partielles (EDP), telles que l'équation de la chaleur, de la corde vibrante ou de réaction-diffusion. Extensions à l'analyse d'EDP semi-linéaires sur des domaines invariants.
Partie 2. Définition du semi-groupe d'opérateurs de Koopman à partir d'un système dynamique non linéaire. Propriétés dans l'espace de fonctions continues et dans Lp (continuité forte, contraction, dissipativité). Générateur infinitésimal du semi-groupe de Koopman. Etude de l'opérateur dual. Relations avec les propriétés des systèmes dynamiques. Etude des propriétés spectrales.
Cours magistral, travaux dirigés et travaux personnels.
Séminaires, rapport écrit et présentation orale d'un projet (étude de cas).
En cas d'évaluation à distance, les séminaires et la présentation orale du projet seront effectués via Teams.
Jacob B. and Zwart H., Linear port-Hamiltonian systems on infinite-dimensional spaces, Birkhäuser, Basel, 2012
Lasota, A., & Mackey, M. C., Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics (Vol. 97). Springer Science & Business Media, 2013
Bátkai, András, M. Kramar Fijavž, and Abdelaziz Rhandi. Positive operator semigroups. Birkhauser Verlag Ag, 2017.
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