Le cours vise à introduire les outils modernes du calcul tensoriel sur variétés différentiables affines et riemaniennes. De nombreux objets géométriques sont introduits ou généralisés, en relation avec l'algèbre linéaire et le calcul différentiel. En plus d'une vision cohérente de l'articulation de tous ces concepts, le cours vise à doter les étudiants d'outils de calcul tensoriel puissants, qui sont largement utilisés tant en mathématiques fondamentales, appliquées qu'en physique théorique.
Outre la conceptualisation de nombreux objets géométriques comme les courbes, surfaces, variétés et tenseurs, le cours vise également à illustrer la géométrisation du calcul différentiel élémentaire. La géométrie différentielle constitue en effet une synthèse élégante et puissante de celui-ci, en reliant géométrie, algèbre et analyse. Le cours se divise en cinq parties : (i) variétés différentiables et calculus sur variétés (notions de tenseurs et champs tensoriels, courbes, surfaces, difféomorphismes, flots et dérivées de Lie) ; (ii) courbure et torsion sur variétés affines (transport parallèle, connexion linéaire, dérivée covariante, courbure et torsion) ; (iii) géométrie Riemannienne (métrique, distance géodésique, connexion de Levi-Civita, tenseur de Riemann, et applications), (iv) formes différentielles et calcul extérieur (dérivée et produit extérieur) et (v) géométrie Lorentzienne (métrique Lorentzienne, espace-temps, causalité, espaces globalement hyperboliques).
La référence principale du cours théorique est le syllabus. Le cours théorique se donne au tableau et comprend de nombreuses illustrations et développements non présents dans le syllabus, mais complémentaires. Il est donc hautement recommandé d'avoir une participation active au cours, ainsi qu'aux travaux dirigés.
Une première évaluation écrite portera sur les compétences calculatoires acquises durant la participation aux travaux dirigés. Une seconde évaluation orale complétera la première et portera sur le cours théorique. La note finale est la moyenne arithmétique des évaluations écrites et orales, pour autant que les deux notes soient réussies séparément. Les parties en échec (écrit et/ou oral) en juin seront représentées par l'étudiant en septembre. Un report de note de la partie écrite ou orale d'une année académique à l'autre n'est pas envisageable.
M. Nakahara, "Geometry, topology and physics" IoP, 2005.
| Formation | Programme d’études | Bloc | Crédits | Obligatoire |
|---|---|---|---|---|
| Bachelier en sciences mathématiques | Standard | 0 | 4 | |
| Bachelier en sciences mathématiques | Standard | 2 | 4 |