Géométrie différentielle

Outre la conceptualisation de nombreux objets géométriques comme les courbes, surfaces, variétés et tenseurs, le cours vise également à illustrer la géométrisation du calcul différentiel élémentaire. La géométrie différentielle constitue en effet une synthèse élégante et puissante de celui-ci, en reliant géométrie, algèbre et analyse. Le cours se divise en cinq parties : (i) variétés différentiables et calculus sur variétés (notions de tenseurs et champs tensoriels, courbes, surfaces, difféomorphismes, flots et dérivées de Lie) ; (ii) courbure et torsion sur variétés affines (transport parallèle, connexion linéaire, dérivée covariante, courbure et torsion) ; (iii) géométrie Riemannienne (métrique, distance géodésique, connexion de Levi-Civita, tenseur de Riemann, et applications), (iv) formes différentielles et calcul extérieur (dérivée et produit extérieur) et (v) géométrie Lorentzienne (métrique Lorentzienne, espace-temps, causalité, espaces globalement hyperboliques).