Ce cours vise la maîtrise d'une série d'outils numériques pour la résolution de systèmes d'équations linéaires et de problèmes aux valeurs propres.
Ce cours à pour objectifs de familiariser les étudiants à la résolution de systèmes d'équations linéaires et de problèmes aux valeurs propres par des méthodes numériques directes ou itératives, et de développer l'esprit critique lié à cette démarche (analyse d'erreur, qualité de la solution numérique, etc).
Pour la résolution de systèmes d'équations linéaires, ce cours est basé sur les cinq premiers chapitres ainsi que le dixième chapitre du livre ``Matrix Computation'' (troisième édition), écrit par Gene H. Golub et Charles F. van Loan, Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996. Après une introduction au calcul matriciel, la première partie du cours aborde la résolution des systèmes linéaires généraux et particuliers par méthodes directes. La deuxième partie étudie les systèmes linéaires surdéterminés tandis que la troisième partie concerne la résolution de systèmes linéaires par méthodes itératives.
Pour la résolution de problèmes aux valeurs propres, le cours se concentre sur la méthode dite "itération QR".
Pour la résolution de systèmes d'équations linéaires :
Chapitre I : Multiplication matricielle
A. Algorithmes de base et notation
B. Exploitation de la structure
C. Matrices blocs et algorithmes associés
D. La "vectorisation"
Chapitre II : Analyse matricielle
A Notions de base d'algèbre linéaire
B. Normes vectorielles
C. Normes matricielles
D. Calcul matriciel en précision finie
E. Orthogonalité et décomposition en valeurs singulières
F. La sensitivité des systèmes linéaires carrés
Chapitre III : Systèmes linéaires généraux
A. Systèmes triangulaires
B. La factorisation LU
C. Analyse d'erreur de l'élimination de Gauss
D. Le pivotage
Chapitre IV : Systèmes linéaires particuliers
A. Les factorisations LDM^T et LDL^T
B. Les systèmes définis positifs
C. Les systèmes bande
D. Les systèmes symétriques indéfinis
Chapitre V : Orthogonalisation et moindres carrés
A. Matrices de Householder et de Givens
B. La factorisation QR
C. Le problème aux moindres carrés de rang plein
Chapitre VI : Méthodes itératives pour les systèmes linéaires
A. Les méthodes standards (Jacobi -- Gauss-Seidel -- SOR)
B. La méthode du gradient conjugué
C. La méthode du gradient conjugué préconditionnée
Cours magistral. Illustrations des méthodes vues en séances d'exercices.
L'évaluation consiste en deux épreuves, l'une portant sur la partie théorique et l'autre sur la partie pratique, sous forme d'examen ou de travail. Chaque épreuve compte pour moitié et constitue une unité d'apprentissage. Au cours d'une même année, l'étudiant est dispensé de repasser l'évaluation d'une des deux parties si elle est réussie (10/20) et pour autant qu'il ait présenté les deux parties la première fois.
Matrix computations (Golub et Van Loan)