Ce cours vise la maîtrise d'une série d'outils numériques pour la résolution de systèmes d'équations linéaires et de problèmes aux valeurs propres.
Ce cours à pour objectifs de familiariser les étudiant.e.s à la résolution numérique de systèmes d’équations linéaires et de problèmes aux valeurs propres par des méthodes directes ou itératives, mais également de les familiariser à la démarche mathématique permettant d’établir des algorithmes de résolution numérique de systèmes d’équations linéaires et de problèmes aux valeurs propres et de développer leur esprit critique lié à cette démarche (exploitation de la structure d’un problème, analyse d’erreur d’un algorithme en précision finie, critères d’efficacité d’un algorithme, etc.).
Pour la résolution de systèmes d'équations linéaires, ce cours est basé sur les cinq premiers chapitres ainsi que le onzième chapitre du livre ``Matrix Computation'' (quatrième édition), écrit par Gene H. Golub et Charles F. van Loan, Johns Hopkins University Press, Baltimore, 2013. Après une introduction au calcul matriciel, la première partie du cours aborde la résolution des systèmes linéaires généraux et particuliers par méthodes directes. La deuxième partie étudie les systèmes linéaires surdéterminés (problèmes aux moindres carrés), tandis que la troisième partie concerne la résolution de systèmes linéaires par méthodes itératives.
Pour la résolution de problèmes aux valeurs propres, le cours se concentre sur la méthode dite "itération QR" et s'inspire du quatrième chapitre du livre ``Scientific Computing - An Introductory Survey'' (seconde édition), écrit par Michael T. Heath, McGraw-Hill, International Edition, 2005.
Chapitre I : Multiplication matricielle
A. Algorithmes de base
B. Exploitation de la structure
C. Matrices blocs et algorithmes associés
Chapitre II : Analyse matricielle
A Notions de base d'algèbre linéaire
B. Normes vectorielles
C. Normes matricielles
D. Calcul matriciel en précision finie
E. Orthogonalité et décomposition en valeurs singulières
F. La sensitivité des systèmes linéaires carrés
Chapitre III : Systèmes linéaires généraux
A. Systèmes triangulaires
B. La factorisation LU
C. Analyse d'erreur de l'élimination de Gauss
D. Le pivotage
Chapitre IV : Systèmes linéaires particuliers
A. Les factorisations LDM^T et LDL^T
B. Les systèmes définis positifs
C. Les systèmes symétriques indéfinis
Chapitre V : Orthogonalisation et moindres carrés
A. Matrices de Householder et de Givens
B. La factorisation QR
C. Le problème aux moindres carrés de rang plein
Chapitre VI : Méthodes itératives pour les systèmes linéaires
A. Les méthodes standards (Jacobi -- Gauss-Seidel -- SOR)
B. La méthode du gradient conjugué
C. La méthode du gradient conjugué préconditionnée
Chapitre VII : Valeurs propres et vecteurs propres
A. Généralités
B. Sensitivité et conditionnement
C. Transformations
D. Calcul des valeurs propres et vecteurs propres
Les séances d'exercices sont données à raison de 2h00 par semaine.
Cours magistral pour la théorie et séances d'exercises pour sa mise en application. Ce cours est donné à raison de 2h00 par semaine.
L'évaluation consiste en une seule épreuve, sous forme de travail individuel avec présentation orale.
Matrix computations (Golub et Van Loan)
Scientific Computing - An Introductory Survey (Michael T. Heath)