Ce cours vise la maîtrise d'outils de base de l'analyse numérique en s'appuyant sur une théorie complète (définitions et propriétés) et des exemples variées (aux cours théoriques et de manière plus active aux séances d'exercices).
Ce cours à pour objectifs de familiariser les étudiants à la démarche de résolution de problèmes mathématiques par des méthodes numériques et de développer l'esprit critique lié à cette démarche (analyse d'erreur, qualité de la solution numérique, etc).
La première partie de ce cours donne une introduction aux concepts de l'analyse numérique (analyse d'erreur, notion d'algorithme numérique). La deuxième et principale partie du cours aborde successivement l'approximation numérique de fonctions au sens de Tchebycheff et celle au sens des moindres carrés, l'interpolation et la quadrature numérique.
Partie I : Introduction aux concepts de l'analyse numérique :
A. Analyse d'erreur
1) Erreur d'approximation
2) Erreur d'arrondi
B. Notions d'algorithmes numériques
1) Définition et caractéristiques (complexité, etc)
2) Stabilités d'un algorithme
3) Librairies et logiciels
Partie II : Représentation approchée de fonctions
A. Approximation linéaire de dimension finie
1) Approximation au sens de Tchebycheff
2) Approximation au sens des moindres carrés
3) Polynômes orthogonaux 4) Séries de Tchebycheff
B. Interpolation
1) Interpolation de Lagrange
2) Interpolation d'Hermite
3) Reste d'interpolation
4) Choix optimal des noeuds d'interpolation de Lagrange
5) Interpolation polynomiale par morceaux -- Fonction splines
C. Quadrature numérique
1) Choix des poids -- Quadrature de Newton-Cotes
2) Choix des noeuds -- Quadrature de Gauss
Cours magistral. Illustrations des méthodes vues en séances d'exercices.
L'évaluation consiste en deux épreuves : la première est orale pour la théorie et la seconde est écrite pour les exercices et se fait sur ordinateur. Chaque épreuve compte pour moitié et constitue une unité d'apprentissage. Au cours d'une même année, l'étudiant est dispensé de repasser l'évaluation d'une des deux parties si elle est réussie (10/20) et pour autant qu'il ait présenté les deux parties la première fois.