Ce cours a pour objectif de présenter une théorie formelle des probabilités basée sur le théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue.
Ce cours est conçu pour familiariser l'étudiant avec les concepts fondamentaux de la théorie des probabilités. La première partie du cours vise à créer une certaine intuition de ces notions par l'étude des espaces probabilisés discrets. La seconde partie est une introduction aux mesures de probabilités sur la droite réelle. Les principaux concepts étudiés sont les suivants: variables aléatoires discrètes, notions fondamentales du calcul des probabilités, indépendance, suite de variables aléatoires indépendantes, fonctions caractéristiques, théorème central-limite, espérance conditionnelle.
Chapitre I : Introduction 1.1 Préliminaires 1.2 Expériences et événements aléatoires 1.3 Espace probabilisé 1.4 Probabilités conditionnelles et événements indépendants Annexe au chapitre I : Introduction au calcul combinatoire des probabilités Chapitre II : Variables aléatoires discrètes 2.1 Préliminaires 2.2 Variables aléatoires discrètes 2.3 Fonction de densité d'une variable aléatoire discrète 2.4 Fonction de répartition 2.5 Vecteurs aléatoires discrets 2.6 Variables aléatoires indépendantes 2.7 Fonction génératrice des variables aléatoires entières Chapitre III : Notions fondamentales du calcul des probabilités 3.1 Variables aléatoires réelles 3.2 Variables aléatoires définies dans Rn. 3.3 Espérances et moments des variables aléatoires Chapitre IV : Indépendance 4.1 Indépendance d'événements 4.2 Indépendance de tribus 4.3 Indépendance de variables aléatoires 4.4 Fonctions de variables aléatoires indépendantes Chapitre V : Suites de variables aléatoires indépendantes 5.1 Suite de variables aléatoires non-correlées 5.2 Quelques concepts de convergence pour des suites de variables aléatoires 5.3 Les lois des grands nombres 5.4 La convergence en loi Chapitre V: Les fonctions caractéristiques et le théorème central-limite Chapitre VI : Espérance conditionnelle 6.1 Introduction 6.2 Définition générale de l'espérance conditionnelle 6.3 Espérance conditionnelle d'une variable aléatoire réelle par rapport à une variable aléatoire dans Rn 6.4 Les densités conditionnelles
Les séances d'exercices ont pour but d'illustrer les notions introduites dans le cours théorique.
Il s'agit d'un cours magistral. Des slides de type powerpoint sont projetés au cours. Ces slides sont disponibles sur le site webcampus2017 du cours.
L'évaluation du cours comporte deux parties. 1) Un examen oral individuel qui a pour objectif d'évaluer les connaissances de l'étudiant et son niveau de compréhension du cours (définitions, énoncés et démonstrations de théorèmes, questions de synthèse...). 2) Un examen écrit d'exercices qui a pour but de tester les capacités de l'étudiant à appliquer les résultats vus au cours. Si l'étudiant a une note supérieure à 10/20 aux examens écrit et oral, la cote finale est la moyenne arithmétique des deux cotes. Dans le cas contraire la note finale est la partie entière de la moyenne géométrique des deux cotes.
Slides de type powerpoint projetés au cours, et disponibles sur le site webcampus2017 du cours.