L'objectif du cours est d'étudier les grands théorèmes de l'analyse fonctionnelle dans le cadre des espaces normés de dimension infinie et de les appliquer à la résolution d'équations fonctionnelles linéaires (existence et unicité des solutions, convergence de schémas itératifs, décomposition spectrale).
Après avoir défini les opérateurs linéaires et bornés, on passe en revue les grands résultats classiques: théorèmes de Hahn-Banach, théorèmes de séparation des convexes, théorème de Banach-Steinhaus, théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé, étude de la topologie faible et de la topologie faible-*, théorème de Banach-Alaoglu, espaces réflexifs. La seconde partie du cours est consacrée à la théorie spectrale des opérateurs compacts et à son application aux équations intégrales. Après avoir vu le lemme de Neumann et le lemme de perturbation, on examine en détail l'Alternative de Fredholm et son interprétation en termes d'équation intégrale. Ensuite on particularise les résultats obtenus au cas des espaces de Hilbert pour obtenir le théorème de décomposition spectrale.
Cours oral où est developpée la théorie. Séances d'exercices pour illustrer la théorie. Travail personnel d'approfondissement.
L’examen comporte deux parties : un examen écrit (dont la note correspond à 35 % de la note globale)
et un examen oral (dont la note correspond à 40 % de la note globale). Par ailleurs, le travail
personnel correspond à 25 % de la note globale. Chacune de ces trois notes correspond à une activité d'apprentissage.
Les questions de l’examen écrit sont uniquement des questions d’exercices : elles portent sur des
applications du même genre que celles proposées dans les séances de travaux dirigés et dans le cadre
du cours. Elles visent à évaluer la capacité de l’étudiant à mettre en oeuvre les concepts et résultats
principaux du cours.
En ce qui concerne l’examen oral, les questions portent sur la théorie. L’accent est mis sur la compréhension,
la précision et l’esprit de synthèse. Cet examen comporte deux questions principales, l’une
consistant à démontrer un résultat en le situant dans son contexte, l’autre étant une question de connaissance
qui consiste à donner des définitions et à énoncer des résultats (sans démonstration) demandés
sur un thème déterminé.
L’étudiant dispose d’une heure de préparation pour ces deux questions. L’exposé des questions, y compris
les réponses aux sous-questions, ne peut jamais dépasser trente minutes.
Les étudiants devront connaître tous les concepts, toutes les définitions et l’énoncé de tous les résultats
(théorèmes, propositions, etc) présentés au cours. Les démonstrations seront demandées uniquement
pour les résultats de la liste communiquée par écrit.
Les consignes précises seront communiquées en temps utile et certaines modifications aux présentes modalités d’évaluation pourront être apportées en fonction de l’évolution de la crise sanitaire.
Analyse fonctionnelle. Théorie et applications Haim Brezis Masson Paris 1983 ---
H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer 2011.