La topologie générale permet d'adapter les notions de continuité et de convergence aux besoins d'un problème mathématique. Ce cours est une introduction aux notions de base de la topologie, essentielles notamment pour suivre un cours d'analyse fonctionnelle.
Propriétés fondamentales (ouverts et fermés, voisinages, convergence d'une suite), Bases, Sous-bases et Bases Locales (voisinages fondamentaux). Fonctions Continues (continuité globale, locale et séquentielle en un point) et Espaces Topologiques Equivalents, Dénombrabilité (utilisation de suites) et Séparation (unicité d'une limite). Compacité (recouvrement ouvert et extraction d'un sous-recouvrement fini)(théorèmes d'Alexander et de Heine-Borel, propriétés) et Compacité Séquentielle (extraction d' une sous-suite convergente). Espaces produit (topologie produit, théorème de compacité de Tychonoff). Espaces métriques (topologie métrique, compacité dans les espaces métriques (équivalence avec la compacité séquentielle), espaces métriques complets).
Analyse de notions et problèmes afférants au cours.
Cours magistral, tavaux dirigés et travaux en petits groupes.
L'examen comporte deux parties : un examen écrit et un examen oral. Les questions d'examen écrit sont uniquement des questions d'exercices : elles portent sur des applications du même genre que celles proposées dans les séances de travaux dirigés et au cours. Elles visent à évaluer la capacité de l'étudiant à mettre en oeuvre les concepts et résultats principaux du cours. En ce qui concerne l'examen oral, les questions portent sur la théorie. L'accent est mis sur la compréhension, la précision et l'esprit de synthèse. Cet examen comporte deux questions, l'une consistant typiquement à énoncer un résultat et à le démontrer en le situant dans son contexte, l'autre étant une question de synthèse qui consiste à présenter un thème de façon aussi concise et complète que possible, sans démonstration. L'étudiant dispose d'une heure de préparation pour ces deux questions. L'exposé d'une question, y compris les réponses aux sous-questions, ne peut jamais dépasser quinze minutes. Pour les deux parties de l'examen (écrite et orale), l'étudiant peut disposer de certaines informations dont la liste lui est communiquée en temps utile.
Cette unité d'enseignement comporte trois activités d'apprentissage, à chacune desquelles correspond une note. L'examen écrit et l'examen oral comptent chacun pour 40% de la note finale. La formation est complétée par un travail personnel qui compte pour 20% de la note finale.
Les consignes précises seront communiquées en temps utile et certaines modifications aux présentes modalités d’évaluation pourront être apportées en fonction de l’évolution de la crise sanitaire.
- Adams, Colin et Robert Franzosa, Introduction to topology : pure and applied, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2008. [BUMP: 2710]
- Lipschutz, Seymour, Topologie - Cours et problemes, Serie Schaum, McGraw-Hill, New York 1965, Paris (pour la traduction française) 1981. [BUMP : SB08413/006]